康托展开(全排列)与逆运算

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

今天训练赛有一道全排列题，一开始用的是DFS，和next_permutation(全排列函数)的。结果没想到教练卡了这两个超时，同学0到9打表都能过，晕死！！！我去！

康托展开

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其中, ai为整数,并且。
ai表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个
既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

康托展开逆运算
如n=5,x=96时：
首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321。
按以上方法可以得出通用的算法。

逆康托展开举例

一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在给出61可以算出起排列组合为34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来，具体过程如下：
用 61 / 4! = 2余13，等于2,说明比第一位小的数有2个，所以首位为3。
拿 13 / 3! = 2余1，说明在剩下的中，小于第二位的数有2个，但是所以第二位为4。
拿 1 / 2! = 0余1，说明在剩下的中，小于第三位的数，所以第三位为1。
拿 1 / 1! = 1余0，说明在剩下的中，小于第四位的数有1个，所以第四位为5。
最后一位自然就是剩下的数2。
通过以上分析，所求排列组合为 34152。

举一反一(哈哈)，题目给样例：
5 10
得：
13452

分析下，先将10-1=9：

用9/4!(24) = 0余9，意味着没有数比第一位小： 1
拿9/3!(6)  = 1余3，意味着有一位数比第二位小，但是因为1已经用过了。所以肯定是：3
拿3/2!(2)  = 1余1，意味着有一位数比第三位小，所以是：4
拿1/1!(1)  = 1余0，意味着没有数比第四位小，所以是：5
剩余2。
所以排列组合应该是：13452

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,sum;
static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 存放阶乘
//康托展开逆运算
int main(){
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){
		vector<int> v;  // 存放当前可选数
		vector<int> a;  // 所求排列组合
		int x=m-1; 
		for(int i=1;i<=n;i++)
        	v.push_back(i);
    	for(int i=n;i>=1;i--){
        	int r = x % FAC[i-1];
        	int t = x / FAC[i-1];
        	x = r;
        	sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
        	a.push_back(v[t]);      // 剩余数里第t+1个数为当前位
        	v.erase(v.begin()+t);   // 移除选做当前位的数
    	}
		for(int i=0;i<a.size();i++){
			printf("%d",a[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

借鉴百度百科